Công thức 7 Hằng Đẳng Thức đáng nhớ & Các dạng bài tập

Là một trong những dạng toán quan trọng của lớp 8, để ôn thi vào lớp 9 lên lớp 10, công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ được các thầy cô giảng dạy cho học sinh. Vậy hằng đẳng thức đáng nhớ là gì và tại sao nó lại quan trọng như vậy?

Dưới đây, đội ngũ INVERT giới thiệu công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và cách ứng dụng công thức này vào bài tập cụ thể, ví dụ minh hoạ từng dạng toán, để bạn dễ dàng nắm bắt được.

Hằng đẳng thức đáng nhớ là gì? Ý nghĩa của hằng đẳng thức đáng nhớ?

Hằng đẳng thức đáng nhớ là một loạt các đẳng thức có liên quan đến nhau hợp lại thành một đẳng thức. Trong toán học, mỗi học sinh bắt buộc phải thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhớ được quy định để có thể vận dụng chúng giải các bài tập toán. 

Khi nhớ được 7 hằng đẳng thức đồng nghĩa với việc bạn sẽ hiểu được bản chất, tiết kiệm được thời gian và hạn chế được những sai sót khi giải toán. Ngoài ra, vốn kiến thức này còn rèn luyện cho bạn các kỹ năng mềm như sự tỷ mỹ, cẩn thận cũng như thúc đẩy niềm đam mê với môn học. 

Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ 

1. Công thức bình phương của một tổng (A + B)²

Định nghĩa: Bình phương của một tổng (A + B)² sẽ bằng với bình phương của số thứ nhất A² cộng hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai 2AB, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai B².

Công thức bình phương của một tổng: (A + B)² = A² + 2AB + B² 

*Ví dụ bài 16 trang 11 SGK toán 8 tập 1: 

Ví dụ:

a) Tính ( a + 3 )².

b) Viết biểu thức x²+ 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng.

Hướng dẫn:

a) Ta có: ( a + 3 )²= a²+ 2.a.3 + 3² = a² + 6a + 9.

b) Ta có x²+ 4x + 4 = x²+ 2.x.2 + 2² = ( x + 2 )².

2. Công thức bình phương của một hiệu (A - B)²

Định nghĩa: Bình phương của một hiệu (A - B)² sẽ bằng bình phương của số thứ nhất A² trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai 2AB, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai B².

Công thức bình phương của một hiệu: (A - B)² = A² - 2AB + B²

Ví dụ Bài 16 trang 1 KGK toán 8:

3. Công thức hiệu của hai bình phương A² - B²

Định nghĩa: Hiệu của hai bình phương của hai số A² - B² sẽ bằng hiệu của hai số đó A - B nhân với tổng của hai số đó A + B.

Công thức hiệu của hai bình phương: A² - B² = (A - B)(A + B)

4. Công thức lập phương của một tổng (A + B)³

Định nghĩa: Lập phương của một tổng của hai số (A + B)³ sẽ bằng lập phương của số thứ nhất A³ cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai 3A²B, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai 3AB², rồi sau đó cộng với lập phương của số thứ hai B³.

Công thức lập phương của một tổng: (A + B)³ = A³ + 3A²B +3AB² + B³

5. Công thức lập phương của một hiệu (A - B)³

Định nghĩa: Lập phương của một hiệu của hai số (A - B)³ sẽ bằng lập phương của số thứ nhất A³ trừ đi ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân cho số thứ hai 3A²B, cộng với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai 3AB², rồi sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai B³.

Công thức lập phương của một hiệu: (A - B)³ = A³ - 3A²B +3AB² - B³

Ví dụ:

a) Tính ( 2x – 1 )³.

b) Viết biểu thức x³– 3x²y + 3xy²– y³ dưới dạng lập phương của một hiệu.

Hướng dẫn:

a) Ta có: ( 2x – 1 )³

= ( 2x )³ – 3.( 2x )².1 + 3( 2x ).1² – 1³

 = 8x³ – 12x² + 6x – 1

b) Ta có: x³– 3x²y + 3xy²– y³

= ( x )³ – 3.x².y + 3.x. y² – y³

= ( x – y )³

6. Công thức tổng của hai lập phương A³ + B³

Định nghĩa: Tổng của hai lập phương của hai số A³ + B³ sẽ bằng tổng của số thứ nhất cộng với số thứ hai A + B, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai A² -AB + B².

Công thức tổng của hai lập phương: A³ + B³ = (A + B)(A² -AB + B²)

Ví dụ:

a) Tính 3³+ 4³.

b) Viết biểu thức ( x + 1 )( x²– x + 1 ) dưới dạng tổng hai lập phương.

Hướng dẫn:

a) Ta có: 3³+ 4³= ( 3 + 4 )( 3² – 3.4 + 4² ) = 7.13 = 91.

b) Ta có: ( x + 1 )( x²– x + 1 ) = x³+ 1³ = x³ + 1.

7. Công thức hiệu của hai lập phương A³ - B³

Định nghĩa: Hiệu của hai lập phương của hai số sẽ bằng hiệu của số thứ nhất trừ đi số thứ hai A - B, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai A² +AB + B².

Công thức hiệu của hai lập phương: A³ - B³ = (A - B)(A² +AB + B²)

Ví dụ:

a) Tính 6³– 4³.

b) Viết biểu thức ( x – 2y )( x²+ 2xy + 4y²) dưới dạng hiệu hai lập phương

Hướng dẫn:

a) Ta có: 6³– 4³= ( 6 – 4 )( 6² + 6.4 + 4² ) = 2.76 = 152.

b) Ta có : ( x – 2y )( x²+ 2xy + 4y²) = ( x )³ – ( 2y )³ = x³ – 8y³.

Hệ quả của 7 hằng đẳng thức đáng nhớ mà bạn cần nắm

Bên cạnh 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, ta có 7 hệ quả hay các công thức hằng đẳng thức mở rộng của chúng như sau:

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

Hệ quả tổng quát

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

Một số bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (9 dạng)

1. Bài tập 7 hằng đẳng thức đáng nhớ có lời giải

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức

Đề: Hãy tính giá trị của biểu thức: 

Giải 

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

Đề: Bạn hãy chứng minh đẳng thức: 

Giải

Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức

Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đề: Bạn hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

Giải

Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Đề: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

Giải

Dạng 6: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

Đề: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến: 

Giải

Dạng 7: Tìm x.

Đề: Tìm x biết: 

Giải

Dạng 8: Phân tích đa thức thành nhân tử

Đề: Hãy tìm phân tích đa thức thành nhân tử của: 

Giải

Dạng 9: Thực hiện phép tính phân thức

Đề: Bạn hãy thực hiện phép tính phân thức

Giải

2. Bài tập 7 hằng đẳng thức đáng nhớ không có lời giải

Trên đây là công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và các bài tập vận dụng về chúng mà đội ngũ INVERT chúng tôi đã tổng hợp được. Mong rằng thông qua bài viết này các bạn hoàn toàn có thể biết được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cũng như vận dụng giải bài tập dễ dàng. Nếu có gì thắc mắc bạn cũng có thể bình luận bên dưới, chúng tôi sẽ giải đáp cho bạn. Chúc các bạn thành công.