Đường trung tuyến là gì? Cách chứng minh đường trung tuyến

Đường trung tuyến là một trong những kiến thức Toán học quan trọng đối với các bạn học sinh lớp 7, 8, 9, đặc biệt là lớp 10. Vậy hình đường trung tuyến là gì và cách đường trung tuyến ra sao?

Sau đây, đội ngũ INVERT chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn biết được đường trung tuyến là gì & cách chứng minh đường trung tuyến vô cùng đơn giản, chi tiết, dễ hiểu thông qua bài viết sau.

I. Định nghĩa đường trung tuyến là gì? 

Định nghĩa: Đường trung tuyến của đoạn thẳng chính là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Đường trung tuyến của tam giác: Là đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện trong hình học phẳng. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

Đối với tam giác cân và tam giác đều: Mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh với 2 cạnh kề có chiều dài bằng nhau. Trong hình học không gian, mặt trung tuyến trong tứ diện cũng có khái niệm tương tự. 

II. Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác

1. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác thường

- Đồng quy tại 1 điểm: Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại 1 điểm, điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác. 

Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

- Chia thành các tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau: Mỗi đường trung tuyến chia diện tích của tam giác thành 2 phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.

- Vị trí trọng tâm của tam giác: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Ví dụ: Cho hình vẽ:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ABC có các trung tuyến AI, BM, CN thì ta sẽ có biểu thức:

2. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông

Định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông:

• Định lý 1: Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền.
• Định lý 2: Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
• Định lý 3: Đường trung tuyến của tam giác vuông có đầy đủ các tính chất của một đường trung tuyến tam giác.

ABC vuông có AD là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.

=> AD = 1/2BC = DB = DC

Ngược lại, nếu trung tuyến AM = 1/2BC thì ABC vuông tại A.

3. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân

Định lý đường trung tuyến trong tam giác cân: Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đáy. Và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau.

Cụ thể: ABC cân tại A có đường trung tuyến AD ứng với cạnh BC=> AD ⊥ BC và ΔADB = ΔADC

4. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác đều

Định lý đường trung tuyến trong tam giác đều:

• 3 đường trung tuyến của tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.
• Trong tam giác đều đường thẳng đi qua một đỉnh bất kỳ và đi qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.

Cụ thể: ΔABC đều => ΔGAE = ΔGAF = ΔGCF = ΔGCD = ΔGBD = ΔGBE = ΔGEB = ΔGEA

SADB = SADC = SCEA = SCEB = SBFA = SBFC

III. Công thức đường trung tuyến

Cách tính đường trung tuyến: Độ dài đường trung tuyến được tính bằng căn bậc 2 của một phần 2 tổng bình phương hai cạnh kề. Sau đó trừ đi một phần tư bình phương cạnh đối.

Cho a, b, c lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác, độ dài 3 đường trung tuyến ta có thể tính bằng cách áp dụng định lý Apollonius như sau:

Trong đó:

• a, b, c: là các cạnh của tam giác.
• ma, mb, mc: là các đường trung tuyến của tam giác.

*Công thức liên quan tới độ dài của trung tuyến

IV. Cách chứng minh đường trung tuyến

1. Cách chứng minh đường trung tuyến trong tam giác thường

- Cách 1: Chứng minh đường đó nối một đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối diện.

Ví dụ: Tam giác ABC có D là trung điểm BC

=> AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

- Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ trọng tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng ⅔ đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó.

Ví dụ: Tam giác ABC có điểm G thỏa mãn AG = 2/3 AD (D ∈ BC)

=> AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

- Cách 3: Chứng minh khoảng cách từ trọng tâm đến trung điểm của mỗi cạnh bằng ⅓ đường trung tuyến tương ứng với điểm đó.

Ví dụ: Tam giác ABC có điểm G thỏa mãn GD = 1/3 AD (D ∈ BC)

=> AD là đường trung tuyến của tam giác ABC

2. Cách chứng minh đường trung tuyến trọng tam giác cân

Chứng minh các tính chất trên:

(1) Do AE là đường trung tuyến của tam giác AMN nên ta có: BE = CE.

Lại có tam giác ABC cân tại A nên ta được: AB = AC và góc ABE = góc ACE.

Xét tam giác ABE và tam giác ACE ta có:

+ AB = AC

+ BE = CE

+ AE chung.

Suy ra tam giác ABE và tam giác ACE là hai tam giác bằng nhau (c.c.c).

(2) Do tam giác ABE và tam giác ACE là hai tam giác bằng nhau theo chứng minh trên.

Khi đó ta được: góc AEB = góc AEC.

Mà góc AEB + AEC = 180º (tính chất hai góc kề bù).

Từ các điều trên ta suy ra: Số đo của hai góc AEB và góc AEC bằng nhau và bằng 90 độ.

Do đó ta có: Đường trung tuyến AE vuông góc với cạnh BC.

(3) Do BF và CG là hai đường trung tuyến của tam giác AMN nên ta có: AG = BG và AF = CF.

Suy ra AB = 2AG và AC = 2AF.

Lại có tam giác ABC cân tại A nên ta được: AB = AC.

Khi đó ta được:  AB = AC = 2AG = 2AF hay AG = AF.

Xét tam giác AFB và tam giác AGC có:

+ AG = AF

+ Góc A chung

+ AB = AC

Do đó tam giác AFB và tam giác AGC là hai tam giác bằng nhau (c.g.c).

Suy ra BF = GC.

Khi đó, ta được: Hai đường trung tuyến BF và CG có độ dài bằng nhau.

3. Chứng minh đường trung tuyến trong tam giác vuông

Chứng minh các tính chất trên:

Đề Bài : Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

 1. Nếu = 900 thì MA = 2 BC

 2. Nếu MA = 2 BC thì góc(A) = 90°.

Giải: Xét tam giác ABC có M là trung điểm của BC.

 Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.

 Ta có:

 góc(AMB) = góc(NMC) (đối đỉnh)

 BM = CM (giả thiết)

 MA = MN (dựng hình)

 Suy ra: tam giác MAB = tam giác MNC (c.g.c)

 Suy ra: NC = AB và góc(MBA) = góc(MCN)

 a) Do góc(MBA) = góc(MCN) nên AB II NC suy ra góc(BAC) + góc(ACN) = 180.

 Nếu góc(BAC) = 900 thì góc(ACN) = 900.

 Khi đó ta có: tam giác ABC = tam giác CNA (c.g.c) vì có AC chung; AB = NC (cmt) và góc(BAC) = góc(ACN) = 900.

 Ta có: AN = BC => AM = 2 BC

 b) Ta có: MA = 2 AN. Nếu MA = 2 BC thì AN = BC.

 Lại có AB = CN (cmt)

 Suy ra tam giác ABC = tam giác CNA (c.c.c), suy ra: góc(BAC) = góc(ACN)

 Mà góc(BAC) + góc(ACN) = 180° (vì AB // CA) nên góc(BAC) = 90° (dpcm)

V. Một số bài tập về đường trung tuyến

1. Bài tập đường trung tuyến có lời giải

Câu 1: Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ dài đoạn AG là:

A. 4,5cm

B. 3cm

C. 6cm

D. 4cm

Đáp án: C.

Câu 2: Cho tam giác ABC cân. Biết AB=AC=10cm, BC=12cm. M là trung điểm BC. Độ dài trung tuyến AM là:

A. 22cm

B. 2cm

C. 6cm

D. 8cm

Đáp án: D

Câu 3: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN. Nếu BM = CN thì ΔABC là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông

C. Tam giác đều

D. Tam giác vuông cân

Đáp án: A.

Bài 4: Cho tam giác ABC có 2 đường đường trung truyến AA’ và BB’ cắt nhau tại điểm O. Yêu cầu: Tính diện tích tam giác ABC, biết diện tích tam giác AOB bằng 5(đvdt)

Giải: 

S(AOB) = ⅔ S(AA’B) (vì AO = ⅔ AA’)

S(ABA’) = ½ S(ABC) (vì BA’ = ½ BC)

Từ đó suy ra: S(ABC) = 2S(ABA’) = 3S(AOB)

Theo đề bài ta có: S(AOB) = 5(đvdt) => S(ABC) = 3.5 =15(đvdt).

Bên trên là kiến thức tổng quát về đường trung tuyến của tam giác và một số dạng toán liên quan. Hy vọng bài viết có thể giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập.

Bài 5: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Trên cạnh AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của đoạn AG’. Yêu cầu so sánh:

a. Những cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b. Những đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.

Giải: 

a. Ta có BG cắt AC tại điểm N, CG cắt AB tại điểm E và G là trọng tâm của tam giác ABC.

=> GA = ⅔ AM

Vì G là trung điểm của AG’ => GA =GG’

Suy ra: GG’ = ⅔ AM

Theo giả thuyết ta có G là trọng tâm của tam giác ABC

=> GB = ⅔ BN

Mặt khác: GM = ½ AG (vì G là trọng tâm)

AG = GG’ => GM = ½ GG’

M là trung điểm của đoạn GG’

Vì GM = MG’ và MB = Mc => tam giác GMC = tam giác G’MB

Suy ra: BG’ = CG

Mà CG = ⅔ CE (G là trọng tâm của tam giác ABC)

=> BG’ = ⅔ CE

Vậy mỗi cạnh của tam giác BGG’ bằng ⅔ các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b. Ta có BM là đường trung tuyến của tam giác BGG’

mà điểm M lại là trung điểm của đoạn BC nên BM = ½ BC

I là trung điểm của BG => IG = ½ BG

G là trọng tâm tam giác ABC => GN = ½ BG

Suy ra: IG = GN

=> tam giác IGG’ = tam giác NGA theo trường hợp cạnh.góc.cạnh

=>IG’ = AN =>IG’ = ½ AC

Gọi K là trung điểm của đoạn BG => GK là trung tuyến của tam giác BGG’

Mặt khác, vì G là trọng tâm của tam giác ABC => GE = ½ GC

Mà K là trung điểm của BG’ => KG” = EG

Vì tam giác GMC = tam giác G’BM (chứng minh trên)

=> tam giác GCM = tam giác G’BM theo trường hợp góc so le trong

=>CE//BG => tam giác AGE = tam giác AG’B theo trường hợp đồng vị

Do đó tam giác AGE = tam giác GG’K (c.g.c) => AE = GK

Mà AE = ½ AB nên GK = ½ AB

Vậy mỗi đường trung tuyến của tam giác BGG’ bằng ½ các cạnh của tam giác ABC.

Câu 6: Cho ΔABC có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME=MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF=NG. Chứng minh:

a) EF=BC

b) Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.

Giải: 

a) Ta có BM và CN là hai đường trung tuyến gặp nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ΔABC.

⇒ GC = 2GN

mà FG = 2GN ⇒ GC=GF

Tương tự BG, GE và ∠G₁ = ∠G₂ (đd). Do đó ΔBGC = ΔEGF(c.g.c))

Suy ra BC = EF

b.) G là trọng tâm nên AG chính là đường trung tuyến thứ ba trong tam giác ABC nên AG đi qua trung điểm của BC.

Câu 7: Cho hai đường thẳng x’x và y’y  gặp nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB=2OA. Trên y’y  lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB.  Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.

Giải: 

Ta có O là trung điểm của đoạn LM (gt)

Suy ra BO là đường trung tuyến của ΔBLM (1)

Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2 AO + AO= 3AO vì AB = 2AO (gt)

Suy ra AO= ⅓BO hay BA= ⅔BO (2)

Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của ΔBLM ( tính chất của trọng tâm)

mà LP và MQ  là các đường trung tuyến của ΔBLM vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt)

suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A ( tính chất của ba đường trung tuyến)

Câu 8: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Giải: 

a, Ta có AM là đường trung tuyến của ΔABC nên MC = MB

Mặt khác ΔABC cân tại A

=> AM vừa là đường trung tuyến và đường cao

Vậy AM vuông góc với BC

b, Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng Định lý Pitago có:

AC² = AM² + MC² => 17² = AM² + 8² => AM² = 17² – 8² = 225 => AM = 15 cm

Câu 9: Cho tam giác ABC. D thuộc tia đối của tia AB sao cho AB = AD. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho độ dài  AE = 1/3 AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CD

b) AM = 1/2 BC

Giải: 

a, Xét tam giác BDC có AB = AD => AC là đường trung tuyến của tam giác BDC

Mặt khác

AE = 1/3 AC => CE = 2/3 AC.

Suy ra E chính là trọng tâm tam giác BDC

M là giao của BE và CD

Vậy BM là đường trung tuyến tam giác BDC

Vậy M là trung điểm của cạnh CD

b, A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC

Suy ra AM = 1/2 BC

Câu 10: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC. Gọi BF, AD, CE là các đường trung tuyến tam giác ABC hay F, D, E lần lượt là trung điểm cạnh AC, BC, AB

Giải: 

Gọi AD, BE, CF là các đường trung tuyến của ΔABC hay D,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC

Ta có AD là đường trung tuyến tam giác ABC nên AG= 2/3 AD(1)

CE là đường trung tuyến tam giác ABC nên CG= 2/3 CE(2)

BF là đường trung tuyến tam giác ABC nên BG= 2/3 BF(3)

Ta có ΔBAC đều =>AD = BF = CE (4)

Từ 1, 2, 3, 4 suy ra AG = CG = BG 

2. Bài tập đường trung tuyến không có lời giải

Câu 1: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN. Nếu BM = CN thì tam giác ABC là tam giác gì?

A. tam giác cân

B. tam giác vuông

C. tam giác đều 

D. tam giác vuông cân

Câu 2: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ), đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a, Chứng minh tam giác AMB = tam giác DMC và AB // CD

b, Gọi F là trung điểm CD, tia FM cắt AB tại K. Chứng minh M là trung điểm KF

c, Gọi E là trung điểm của AC, BE cắt AM tại điểm G, I là trung điểm của AF. Chứng minh ba điểm K, G và I thẳng hàng

Câu 3: Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC.

a, Chứng minh B, G, E thẳng hàng và so sánh BE và GE

b, CI cắt GE tạo O, điểm O là gì của tam giác ABC. Chứng minh BE = 9 OE

Câu 4: Giả sử hai đường trung tuyến BD và CE của tam giác ABC có độ dài bằng nhau và cắt nhau tại G.

a, Tam giác BGC là tam giác gì?

b, So sánh tam giác BCD và tam giác CBE 

c, Tam giác ABC là tam giác gì?

Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a, Tính số đo của ABD

b, Chứng minh góc ABC = góc BAD

c, So sánh độ dài AM = BC

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, BC = 10 cm lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4 cm. lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC.

a, Tính AD

b, Điểm M là gì của tam giác BCD

c, Gọi E là trung điểm của BC, chứng minh D, M, E thẳng hàng

Câu 7: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ), đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a, Chứng minh tam giác AMB = tam giác DMC và AB // CD

b, Gọi F là trung điểm CD, tia FM cắt AB tại K. Chứng minh M là trung điểm KF.

c, Gọi E là trung điểm của AC, BE cắt AM tại G, I là trung điểm của AF. Chứng minh K, G  và I thẳng hàng

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm, BC = 10 cm, lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4 cm, lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC.

a, Tính AD

b, Điểm M là gì của tam giác BCD

c, Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh D, M, E thẳng hàng

Câu 9: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CD

b) AM = 1/2 BC

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 20cm, AC = 26cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.

3. Cách chứng minh đường trung tuyến lớp 7

Bài 23- Trang 66 SGK Toán 7: Cho điểm G là trọng tâm tam giác DEF đường trung tuyến của tam giác là DH. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào là đúng ?

DG/DH=1/2; DGGH=3

GH/DH=1/3; GH/DG=2/3

Giải: 

G là trọng tâm của tam giác DEF với DH là đường trung tuyến . Ta có:

GD/DH=2/3⇒GH/DH=1/3

Vậy khẳng định GH/DH=1/3 là đúng và các khẳng định còn lại sai.

Bài 24- Trang 66 SGK Toán 7: Dựa vào hình 25 dưới đây để điền số thích hợp vào chỗ trống :

a) MG = … MR; GR = … MR; GR = … MG

b) NS = … NG; NS = … GS; NG = … GS

Giải: 

Nhìn vào hình vẽ ta thấy MR và NS là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G suy ra G là trọng tâm của tam giác.

Do đó ta điền được số như sau:

a)  MG=2/3.MR;GR=1/3.MR;GR=1/2.MG

b)  NS=2/3.NG;NS=3GS;NG=2GS

Bài 25- Trang 67 SGK Toán 7: Cho tam giác vuông ABC có hai góc vuông AB = 3cm, AC= 4cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm G tới đỉnh A của tam giác ABC.

Định lý: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Dựa vào định lý này, hãy giải bài toán sau:

Giải: 

Áp dụng định lí Pitago cho ΔABC vuông tại A, ta có:

BC2=AB2+AC2=32+42=25

⇒BC=5cm

Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của ΔABC.

Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền nên AM=12BC.

Vì G là trọng tâm của ∆ ABC nên AG=23AM⇒AG=23.12.BC

⇒AG=13.BC=13.5≈1.7cm

Bài 26: Trang 67 – SGK Toán 7: Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau.

Giải: 

ΔABC cân tại A => AB = AC.

Gọi M, N lần lượt là hai trung điểm của cạnh AB và AC, suy ra:

AN = BN = AM = CM (=12 AB = 12 AC)

Xét ΔBAM và ΔCAN có:

• Góc A chung
• AB = AC
• AM = AN

=> ΔBAM = ΔCAN (c.g.c) => BM = CN (đpcm)

Bài 27: Trang 67 – SGK Toán 7: Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Giải: 

Vẽ ΔABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB và gọi G là trọng tâm của tam giác.

Theo đề bài: CN = BM.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: CG = 23 CN; BG = 23 BM.

Suy ra: CG = BG.

Ta có: NG = CN – CG = BM – BG = GM.

Xét tam giác BGN và CGM có:

CG = BG (cmt)

G1ˆ=G2ˆ (đối đỉnh)

NG = GM (cmt)

⇒ΔBGN=ΔCGM(c−g−c)

⇒BN=CM

Mà M, N là trung điểm AB, AC nên AB = AC.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài 28: Trang 67 – SGK Toán 7: Cho tam giác cân DEF cân tại D và DI là đường trung quyến.

a) Chứng minh ΔDEI = ΔDFI.

b) Các góc DIE và góc DIF là góc gì?

c) Biết DE = DF = 13cm, EF = 10cm, hãy tính độ dài đoạn DI.

Giải: 

a) Xét ΔDEI và ΔDFI có:

• DE = DF (ΔDEF cân)
• DI là cạnh chung.
• IE = IF (DI là trung tuyến)

=> ΔDEI = ΔDFI (c.c.c)

b) Vì  ∆DEI  = ∆DFI => DIEˆ=DIFˆ

mà DIEˆ+DIFˆ=1800 ( kề bù)

nên DIEˆ=DIFˆ=900 

c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm.

ΔDIE vuông tại I => DE2=DI2+EI2 (định lí Pitago)

=> DI2=132–52=144

=> DI=12.

Bài 29: Trang 67 – SGK Toán 7: Cho tam giác đều ABC có G là trọng tâm. Chứng minh rằng: GA = GB = GC

Giải: Áp dụng định lí đã chứng minh ở bài tập 26.

Gọi M, N, E là giao điểm của AG, BG, CG với BC, CA, AB.

Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên

GA = 23AM; GB = 23BN;  GC = 23CE (1)

Vì ∆ABC đều nên ba đường trung tuyến ứng với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau

=> AM = BN = CE (2)

Từ (1), (2)  => GA = GB = GC

Bài 30: Trang 67 – SGK Toán 7: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’.

a) So sánh các cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC.

b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.

Giải: 

a) So sánh các cạnh của  ∆BGG’ với các đường trung tuyến của  ∆ABC BG cắt AC tại N

CG cắt AB tại E

G là trọng tâm của  ∆ABC

=> GA = 2/3 AM

Mà GA = GG’ ( G là trung điểm của AG ‘)

GG’ = 2/3 AM

Vì G là trọng tâm của  ∆ABC => GB = 2/3 BN

Mặt khác : GM = 1/2 AG ( G là trọng tâm )

AG = GG’ (gt)

GM = 1/2 GG’

M là trung điểm GG’

Do đó  ∆GMC =  ∆G’MB vì :

GM = MG’

MB = MC

Góc GMC = góc G’MB

=> BG’ = CG

mà CG = 2/3 CE (G là trọng tâm  ∆ABC)

> BG’ = 2/3 CE

Vậy mỗi cạnh của ∆BGG’ bằng 2/3 đường trung tuyến của ∆ABC

b) So sánh các đường trung tuyến của ∆BGG’ với cạnh ∆ABC

ta có: BM là đường trung tuyến ∆BGG’

mà M là trung điểm của BC nên BM = 1/2 BC

Vì IG = 1/2 BG (I là trung điểm BG)

GN = 1/2 BG ( G là trọng tâm)

=> IG = GN

Do đó ∆IGG’ = ∆NGA (cgc)  => IG’ = AN  => IG’ = AC/2

– Gọi K là trung điểm BG => GK là trung tuyến ∆BGG’

Vì GE = 1/2 GC (G là trọng tâm ∆ABC)

=> GE = 1/2 BG

mà K là trung điểm BG’ => KG’ = EG

Vì ∆GMC = ∆G’BM (chứng minh trên)

Góc GCM = G’BM (lại góc sole trong)

=> CE // BG’ => Góc AGE = AG’B (đồng vị)

Do đó ∆AGE = ∆GG’K (cgc)  => AE = GK

mà AE = 1/2 AB nên GK = 1/2 AB

Vậy mỗi đường trung tuyến ∆BGG’ bằng một nửa cạnh của tam giác ABC song song với nó

4. Cách chứng minh đường trung tuyến lớp 9

Đề: Cho tam giác ABC, chứng minh đường trung tuyến:

AM = (2(AC² + AB²) - BC²)/4

Giải: 

Ta có: AM² = AH² + HM² = AB² - BH² + (BC/2 - BH²) = AB² + (BC²/4) - BC. BH

Mà AM² = AC² + (BC²/4) - HC. BC

Cộng theo vế, suy ra: AM² = (2 (AB² + AC²) - BC²)/4

5. Cách chứng minh đường trung tuyến lớp 10 

Công thức chứng minh đường trung tuyến: 

Bài 1: Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng GA = GB = GC.

Giải:

Gọi AD, CE, BF là các đường trung tuyến tam giác ABC hay D, E, F lần lượt là trung điểm cạnh BC, AB, AC

Ta có AD là đường trung tuyến tam giác ABC nên 

 (1) AG = 2/3 AD

CE là đường trung tuyến tam giác ABC nên 

(2) CG = 2/3 CE 

BF là đường trung tuyến tam giác ABC nên 

(3) BG = 2/3 BF

Ta có tam giác BAC đều nên dễ dàng suy ra AD = BF = CE (4)

Từ 1, 2, 3, 4 suy ra AG = BG = CG

Bài 2: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :

a) M là trung điểm của CD

b) AM = 1/2 BC

Giải:

a. Xét tam giác BDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD

Mặt khác

AE = 1/3 AC => CE = 2/3 AC 

Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD

M là giao của BE và CD

Vậy BM là trung tuyến tam giác BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b. A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

Suy ra AM là đường trung bình của tam giác BDC

Suy ra AM = 1/2 BC

Bài 3: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Giải:

a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC

Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A

Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM vuông góc với BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng định lý Pitago ta có:

AC² = AM² + MC² ⇒ 17² = AM² + 8² ⇒ AM² = 17² - 8² = 225 ⇒ AM = 15cm

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 18cm, AC = 24cm. Tính tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến các đỉnh của tam giác.

Giải: Gọi AD, CE, BF lần lượt là các đường trung tuyến nối từ đỉnh A, C, B của tam giác ABC

Dễ dàng suy ra AE = EB = 9cm, AF = FC = 12cm

Ta có tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

BC² = AB² + AC² ⇒ BC² = 18² + 24² = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta có ABC vuông mà D là trung điểm cạnh huyền nên AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

EC² = AE² + AC² ⇒ EC² = 9² + 24² = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Trên đây là định nghĩa đường trung tuyến là gì, tính chất, dấu hiệu nhận biết và cách giải các bài tập đường trung tuyến nhanh chóng mà đội ngũ INVERT chúng tôi đã tổng hợp được. Mong rằng thông qua bài viết này các bạn hoàn toàn có thể biết được đường trung tuyến là gì cũng như giải các bài tập về đường trung tuyến một cách dễ dàng. Nếu có gì thắc mắc bạn cũng có thể bình luận bên dưới, chúng tôi sẽ giải đáp cho bạn. Chúc các bạn thành công.