Công thức Diện tích hình Nón & Cách tính đơn giản, chính xác

Diện tích hình nón là một trong những kiến thức Toán học quan trọng trong chương trình THCS. Tuy nhiên, đến giờ nhiều bạn vẫn chưa biết diện tích hình nón là gì và cách tính của nó ra sao? 

Sau đây, đội ngũ INVERT hướng dẫn bạn cách tính diện tích hình nón đơn giản, chi tiết, dễ hiểu thông qua bài viết sau.

Hình nón là gì? Diện tích hình nón là gì?

Hình nón trong hình học không gian là hình khi xoay 1 tam giác vuông quanh trục của nó (1 cạnh góc vuông) 1 vòng ta được hình trụ nón.

Diện tích hình nón được nhắc đến với 2 khái niệm: xung quanh và toàn phần.

• Diện tích xung quanh hình nón là phần chỉ bao gồm diện tích mặt xung quanh, bao quanh hình nón, không gồm diện tích đáy.
• Diện tích toàn phần hình nón được tính là độ lớn của toàn bộ không gian hình chiếm giữ, bao gồm cả diện tích xung quanh và diện tích đáy tròn.

*Các loại hình nón

Tuỳ thuộc vào vị trí đỉnh nằm thẳng hay nằm nghiêng, hình nón được chia làm 3 loại:

• Hình nón cụt: Có 2 hình tròn song song với nhau
• Hình nón tròn: Có đỉnh nối vuông góc với mặt đáy của tâm hình tròn
• Hình nón xiên: Có đỉnh không kéo vuông góc với tâm hình tròn, mà có thể kéo từ 1 điểm bất kỳ không phải tâm của đường tròn mặt đáy. 

*Các thuộc tính của hình nón

Hình nón có các thuộc tính chính gồm:

• Không có cạnh
• Có 1 đỉnh hình tam giác
• Có 1 mặt tròn được gọi là đáy

*Chiều cao (h): khoảng cách từ tâm vòng tròn đến đỉnh của hình nón, hình tạo bởi đường cao và bán kính trong hình nón sẽ là 1 tam giác vuông.

Công thức tính diện tích hình nón

1. Công thức tính diện tích hình nón thường

Diện tích xung quanh hình nón được tính bằng tích của hằng số Pi (π) nhân với bán kính đáy hình nón (r) nhân với đường sinh hình nón (l). Trong đó, đường sinh có thể là 1 đường thẳng hoặc 1 đường cong phẳng (có chiều dài từ mép của vòng tròn đến đỉnh của hình nón).

Công thức:

Trong đó:

• Sxq: Diện tích xung quanh hình nón.
• π: Hằng số Pi có giá trị xấp xỉ là 3,14
• r: Bán kính mặt đáy hình nón và bằng đường kính chia 2 (r = d/2).
• l: Đường sinh của hình nón.

Diện tích toàn phần hình nón được tính bằng diện tích xung quanh hình nón cộng với diện tích mặt đáy hình nón. Vì diện tích mặt đáy là hình tròn nên áp dụng công thức tính diện tích hình tròn là Sđ = π. r .r .

Công thức:

Trong đó:

• Stp: Diện tích toàn phần hình nón.
• π: Hằng số Pi có giá trị xấp xỉ là 3,14
• r: Bán kính mặt đáy hình nón và bằng đường kính chia 2 (r = d/2).
• l: Đường sinh của hình nón.

2. Công thức tính diện tích hình nón cụt

Diện tích xung quanh hình nón cụt bao gồm diện tích mặt xung quanh bao quanh hình nón cụt, không gồm diện tích 2 đáy và được tính bằng hiệu diện tích xung quanh của hình nón lớn và hình nón nhỏ.

Công thức:

Trong đó:

• Sxq: Diện tích xung quanh hình nón cụt.
• r1, r2: Bán kính 2 đáy của hình nón cụt.
• l: Độ dài đường sinh của hình nón cụt.

Diện tích toàn phần hình nón cụt là độ lớn của toàn bộ không gian hình chiếm giữ, bao gồm cả diện tích xung quanh và diện tích hai đáy tròn và được tính bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích của 2 đáy.

Công thức:

Suy ra:

Trong đó:

• Sxq: Diện tích xung quanh hình nón cụt.
• Stp: Diện tích toàn phần hình nón cụt
• S2day: Diện tích 2 mặt đáy

Hướng dẫn cách tính diện tích hình nón

Bước 1: Viết ra công thức tính diện tích bề mặt của hình nón

Trước tiên, bạn viết ra diện tích toàn phần của hình nón ra giấy nhằm thuận tiện cho việc tính toán. 

Công thức diện tích toàn phần bề mặt hình nón = π x bán kính x cạnh + π x bán kính² = π x r x s + πr²

Bước 2: Viết ra kích thước của hình nón

Sau đó, bạn tiến hành viết các kích thước của hình nón ra giấy

Bước 3: Tính diện tích bề mặt của hình nón

Tới đây, bạn thay các kích thước của hình nón để tính diện tích hình nón. Cách làm như sau:

Một số bài tập tính diện tích hình nón

1. Bài tập tính diện tích hình nón có lời giải

Câu 1: Cho hình nón có độ dài đường cao là 6 cm, độ dài đường sinh là 10 cm. Tính:

a) Diện tích xung quanh của hình nón

b) Diện tích toàn phần của hình nón.

Giải: 

a) Gọi đỉnh hình nón là O, tâm đáy là H, các điểm A, B thuộc đường tròn đáy.

Ta có: OA là đường sinh = 10 cm, OH là đường cao = 6 cm.

Xét tam giác vuông OHA (vuông tại H):

Theo định lý Py-ta-go ta có: HA = √(OA2 - OH2) = √(102 - 62) = √64 = 8 (cm)

=> HA chính là bán kính mặt đáy của hình nón.

Diện tích xung quanh của hình nón là: 8 x 10 x π = 80π (cm²)
b) Diện tích toàn phần của hình nón là: = 8π x (10 + 8) = 144π (cm²)

Câu 2: Cho hình nón có bán kính là 3cm, chiều cao của hình nón 7cm. Tính diện tích toàn phần của hình nón. 

Giải: 

Công thức đường sinh là l = √(h² + r²) = √ (7² + 3²) = 7,9333 cm.

Diện tích toàn phần hình nón là: Stp = π.r (l + r) = 3,14 . 3 . (7,9333 + 3) = 102,988cm2.

Câu 3: Cho hình nón có góc ở đỉnh là 120⁰ độ dài đường sinh là 20(cm). Tính

a) Sxq

b) Stp

Giải

a) Gọi đỉnh hình nón là O, tâm đáy là H

Kẻ đk của đáy là AB

Góc AOB = 120° ⇒ Góc AOH = 60°, OA = 20

Trong tam giác OHA:

R = HA = OA. sin góc AOH = 20. sin60° = 20. (√3/2) = 10. √3

 

Sxq = π . R . l = π . 10√3 . 20 = 200√3π (cm²)

b) Stp = π . R . l + πR² = 200√3π + 300π = 100(2√3+3)π (cm²)

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 6 (cm), BC = 10 (cm). Cho đường gấp khúc BAC quay quanh BC, ta được khối tròn xoay. Tính diện tích xung quanh của khối tròn xoay đó.

Giải: 

Kẻ AH ⊥ BC tại H. Diện tích xung quanh của khối tròn xoay tạo thành chính là tổng diện tích xung quanh của 2 khối nón.

Khối nón thứ nhất được tạo thành khi chop đường gấp khúc BAH quay quanh BH, R1 = AH, l1 = AB.

 

Sxp1 = π . R²1 . l1 = π.AH² . AB

 

Khối nón thứ hai được tạo thành khi cho đường gấp khúc ACH quay quanh CH, R2 = AH, l2 = AC

Sxp2 = π . R22 . l2 = π . AH² . AB

 

Sxp = Sxp1 + Sxp2 = π . AH² (AB+AC) 

Trong tam giác ABC. 

AB² = BC² − AC² = 102 − 62 = 82

1/ AH² = 1/AB² + 1/AC² = (AB² + AC²) / (AB² . AC²) = (8² + 6²) / (8² . 6²) = 5² / 24²

Sxq = π. (24)² 5². (6 + 8) = 8064 / 25(cm2)

Câu 5: (15/117/SGK T2)

Câu 6: (16/117/SGK T2)

Giải: 

Câu 7: (17/117/SGK T2)

Câu 8: (21/117/SGK T2)

Câu 9: (22/117/SGK T2)

Câu 10: (23/117/SGK T2)

2. Bài tập tính diện tích hình nón không có lời giải

Câu 1: Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Tính đường sinh, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón trên.

Câu 2: Cho hình nón có đường sinh l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 30º. Tính diện tích xung quanh của hình nón

Câu 3: Một khối nón có thể tích bằng 30 π, nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón đó lên 2 lần thì thể tích của khối nón mới bằng bao nhiêu?

Câu 4: Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S; O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a√2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60°. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón lần lượt là?

Câu 5: Một hình nón có đường kính đáy là 2a√3 , góc ở đỉnh là 120⁰. Tính thể tích của khối nón đó theo a.

Câu 6: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh bằng 2πa² . Thể tích khối nón là bao nhiêu?

Câu 7: Cho hình nón có bán kính đáy R = 3(cm) và chiều cao h = 4(cm). Diện tích xung quanh của hình nón là?

Câu 8: Cho hình nón có chiều cao h = 10cm và thể tích V = 1000π (cm³). Tính diện tích toàn phần của hình nón:

Câu 9:  Cho hình thang vuông ABDC vuông tại A và B, biết cạnh AB = BC = 3m, AD = 5m. Tính diện tích xung quanh hình nón cụt tạo thành khi quay hình thang quanh cạnh AB

Câu 10: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B, biết cạnh AB = BC = 4,5 cm, AD = 7,5cm. Tính diện tích xung quanh hình nón cụt tạo thành khi quay hình thang quanh cạnh AB

Trên đây là công thức diện tích hình Nón & cách tính diện tích hình Nón đơn giản, nhanh chóng mà đội ngũ INVERT chúng tôi đã tổng hợp được. Mong rằng thông qua bài viết này các bạn hoàn toàn có thể tính được diện tích hình Nón một cách dễ dàng. Nếu có gì thắc mắc bạn cũng có thể bình luận bên dưới, chúng tôi sẽ giải đáp cho bạn. Chúc các bạn thành công.