Bất đẳng thức Cosi & Bài tập ôn thi dễ hiểu, nhớ kiến thức lâu!!!

Là một trong những dạng kiến thức toán học phổ biến, Bất đẳng thức Cosi được sử dụng để giải nhiều dạng toán về phương trình và bất phương trình khác nhau. Vậy Bất đẳng thức Cosi là gì và cách sử dụng của nó ra sao?

Đừng lo, đội ngũ INVERT chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn biết bất đẳng thức Cosi là gì & cách sử dụng của nó ra sao một cách chi tiết, dễ hiểu thông qua bài viết sau.

Bất đẳng thức Cosi là gì?

Bất đẳng thức Cosi hay bất đẳng thức AM-GM là 1 khái niệm toán học được sử dụng trong các bài toán ở bậc THPT. Trong toán học, bất đẳng thức Cosi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm (TB cộng số thực không âm luôn > hoặc = TB nhân của chúng). Trong trường hợp n bằng nhau thì TB cộng = TB nhân.

Thực ra có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức này nhưng hay nhất vẫn là cách chứng minh quy nạp của Cauchy. 

1. Bất đẳng thức AM – GM

2. Bất đẳng thức Cosi

3. Bất đẳng thức cosi cho 2 số không âm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

4. Bất đẳng thức cosi cho 3 số không âm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

5. Bất đẳng thức cosi cho 4 số không âm

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

6. Bất đẳng thức cosi cho n số không âm

Với x₁, x₂,…, x_n là n số thực không âm, khi đó ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x₁ = x₂ =… = x_n

*Hệ quả của bất đẳng thức Cô-si

Chứng minh bất đẳng thức cosi của Cauchy

1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi đúng với 2 thực số không âm

Với a = 0 và b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng (1). Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức luôn đúng với 2 số a, b dương.

2. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 thực số không âm

Rõ ràng a = 0, b = 0, c = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Do đó, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng với 3 số thực a, b, c dương.

3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực không âm

Dễ dàng nhận ra rằng với a = 0, b = 0, c = 0, d = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Bây giờ chúng ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng với 4 số thực dương.

Từ kết quả chứng minh bất đẳng thức đúng với 2 số thực không âm ta có:

4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Theo chứng minh ở trên, n = 2 thì bất đẳng thức luôn đúng.

Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số. Chứng minh điều này như sau:

Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2.

Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n-1 số như sau:

Theo bất đẳng thức cosi cho n số:

Đây chính là bđt Cosi (n-1) số. Như vậy ta có dpcm.

Một số bài tập về bất đẳng thức Cosi

1. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi có lời giải

Đề 1: Bạn hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

Giải

Đề 2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

Giải 

Đề 3: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện

Giải

Đề 4:

Giải 

Đề 5: 

Giải

 

2. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi không có lời giải

Đề 1: Giải phương trình sau: 

Đề 2: Hãy giải phương trình sau: 

Đề 3: Giải hệ phương trình sau: 

Đề 4: Giải hệ phương trình

Đề 5: Giải hệ phương trình

Đề 6: Xác đinh số nguyên dương n và các số dương x1, x2,...,xn thoả:

Đề 7: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

(gợi ý sử dụng phương pháp làm trội)

Đề 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)

Đề 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

Trên đây là công thức Bất đẳng thức Cosi và các bài tập vận dụng mà đội ngũ INVERT chúng tôi đã tổng hợp được. Mong rằng thông qua bài viết này các bạn hoàn toàn có thể biết được bất đẳng thức Cosi là gì cũng như vận dụng giải bài tập dễ dàng. Nếu có gì thắc mắc bạn cũng có thể bình luận bên dưới, chúng tôi sẽ giải đáp cho bạn. Chúc các bạn thành công.