Trực tâm là gì? Tính chất, cách xác định trực tâm trong tam giác

Trực tâm là một trong những kiến thức Toán học quan trọng đối với các bạn học sinh lớp 7, 8, 9, đặc biệt là lớp 10. Vậy trực tâm là gì và cách trực tâm là như thế nào?

Sau đây, đội ngũ INVERT chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn biết trực tâm là gì & cách chứng minh trực tâm vô cùng đơn giản, chi tiết, dễ hiểu thông qua bài viết sau.

Trực tâm là gì? Công thức tính trực tâm?

Định nghĩa: Trực tâm là giao điểm của 3 đường cao tương ứng 3 đỉnh trong một tam giác. Mỗi tam giác bất kỳ thì chỉ có 1 trực tâm duy nhất. Trực tâm có thể nằm trong hoặc ngoài của tam giác đó.

Tính chất: "Khoảng cách từ 1 đỉnh tới trực tâm của 1 tam giác bằng 2 lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm cạnh nối 2 đỉnh còn lại". Dấu hiệu nhận biết như sau:

• Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó
• Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông
• Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó

* Công thức tính trực tâm: Sau khi biết được trực tâm là gì, chắc chắn các bạn có xu hướng tìm kiếm các công thức tính trực tâm để có thể giải bài tập một cách dễ dàng. Nhưng trong một số trường hợp đặc biệt, bạn cũng có thể áp dụng công thức tính đường cao trong tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông để suy ra kết quả trực tâm tương ứng. Cùng INVERT tìm hiểu đường cao là gì ngay dưới đây nhé. 

Khái niệm đường cao của một tam giác

Định nghĩa: Đường cao của tam giác là đoạn vuông góc kẻ từ 1 đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện, độ dài của đường cao là khoảng cách giữa đỉnh và đáy, theo đó mỗi tam giác sẽ có 3 đường cao. 

Tính chất của trực tâm của tam giác 

Cho hình vẽ, 3 đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm S là trực tâm của tam giác LMN. Cụ thể 3 đường cao của tam giác bao gồm các tính chất cơ bản sau:  

• Tính chất 1: Trong 1 tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng chính là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.
• Tính chất 2: Trong 1 tam giác, nếu như có 1 đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
• Tính chất 3: Trong 1 tam giác, nếu như có 1 đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.
• Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi 3 đỉnh là chân 3 đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.
• Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với 1 đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ 2 sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

Định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của TT qua cạnh tương ứng.

*Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường cao BK. Gọi H là giao điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.

Giải: Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao của tam giác ABC.

Ta có H là giao điểm của hai đường cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABC

=> CH là đường cao của tam giác ABC

Vậy CH vuông góc với AB.

Cách xác định trực tâm trong tam giác 

Trong một tam giác, bạn có thể xác định được trực tâm chỉ bởi 2 đường cao. Cũng theo đó, đối với tam giác tù, tam giác nhọn hoặc tam giác cân, tam giác đều thì cách xác định trực tâm là giống nhau. 

Cách xác định: Từ 2 đỉnh của tam giác, bạn kẻ đường cao tương ứng đến 2 cạnh đối diện. Khi đó, trực tâm của tam giác chính là điểm giao nhau của 2 đường cao đó và chắc chắn đường cao còn lại cũng đi qua điểm này mặc dù không cần kẻ. 

Cách chứng minh trực tâm của tam giác

1. Trực tâm của tam giác vuông

Trực tâm của tam giác vuông chính là đỉnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.

2. Trực tâm của tam giác nhọn

Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.

3. Trực tâm của tam giác tù

Trực tâm của tam giác tù nằm ở miền ngoài tam giác đó.

Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác

V. Một số bài tập về trực tâm

1. Bài tập trực tâm có lời giải

Bài 1: Cho ΔABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó ΔMED là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông cân

C. Tam giác vuông

D. Tam giác đều.

Đáp án: A

Bài 2: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB. Tia AC cắt BD ở E. Tính số đo góc AEB

A. 30⁰

B. 45⁰

C. 60⁰

D. 90⁰

Đáp án: D

Bài 3: Cho ΔABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho góc ABD = góc DBE = góc EBC. Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF = BC. Tam giác CDF là tam giác gì?

A. Tam giác cân tại F

B. Tam giác vuông tại D

C. Tam giác cân tại D

D. Tam giác cân tại C

Đáp án: A

Bài 4: Cho hình vẽ

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50^o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

Giải: 

b)

+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông tại Q có:

Bài 5: Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).

Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

Chứng minh KN ⊥ IM.

Giải: 

Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.

Bài 6: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

Giải: Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

ΔHBC có :

AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

Bài 7: Cho △ABC có các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF

b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE

c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P; Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC

Chứng minh: P; F; E; Q thẳng hàng.

Lời giải:

a) Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông ta có:

FI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJFI = 12AH = EIFJ = 12BC = EJ

Vậy IJ là đường trung trực của EF

b)

c)Tứ giác BFHD và ABDE nội tiếp (đpcm)

d) H là giao điểm 3 phân giác của tam giác EFD

Góc PFB = BFD

Góc DFH = EFH

4 góc này cộng lại = 2.90 =180 => P,E,F thẳng hàng

Tương tự ta có F, E, Q thẳng hàng.

2. Bài tập trực tâm không có lời giải

Trên đây là một số lý thuyết & cách giải bài tập về trực tâm mà đội ngũ INVERT chúng tôi đã tổng hợp được. Mong rằng thông qua bài viết này các bạn hoàn toàn có thể biết được trực tâm là gì cũng như giải các bài tập về trực tâm một cách dễ dàng.